Festkörpermechanik

Beispiel für isotropes Material?

Wie viele unabhängige Komponenten in Materialtensor?

1. Stahl.
2. 2 unabhängige Komponenten (E-Modul, v Querkontraktionszahl)

Der Dehnungstensor ε lässt sich aufteilen in einen volumetrischen εvol Anteil und einen deviatorischen Anteil ~ε. Geben Sie die Definitionen des volumetrischen sowie des deviatorischen Anteils an.

Analog kann der Spannungstensor σ aufgeteilt werden. Geben Sie die jeweilige Definition für σvol und ~σ an. Wie wird der volumetrische Spannungszustand auch genannt?

Der Dehnungstensor ε lässt sich aufteilen in einen elastischen ε(e) Anteil und einen plastischen Anteil ε(p).
Geben Sie die Zerlegung des deviatorischen Dehnungstensors ~ε in einen elastischen und plastischen Teil an.
Warum ist es nicht sinnvoll, den volumetrischen Dehnungstensor εvol in einen elastischen und einen plastischen Anteil aufzuteilen?

Plastische Verformung ändert das Volumen nicht, da es hierbei lediglich zu Versetzungen in den Kristallen kommt. Aus diesem Grund ist der volumetrische Dehnungsanteil rein elastisch.
 

Geben Sie die Kuhn-Tucker-Bedingungen für die Fließfunktion f und den plastischen Parameter λ an.

Geben Sie außerdem die Konsistenzbedingung an, die gelten muss, wenn die Fließfunktion f=0.

Kuhn-Tucker-Bedingungen: λ≥0, f≤0 und λ⋅f=0

Konsistenzbedingung: Wenn f=0 dann muss ˙f=0 gelten.
 

Was ist die schwache Formulierung des Gleichgewichts?

Für die approximative Lösung wird die Gleichgewichtsbedingung mit einer vektoriellen Testfunktion skalar multipliziert und es wird über das Gebiet integrieren. Die schwache Formulierung erfüllt das Gleichgewicht somit nur im integralen Mittel.

Warum stört man der Divergenzterm in der schwachen Formulierung des Gleichgewichtes? Wie kann es behandelt werden?

Die Divergenz ist eine partielle Ableitung.

Die Divergenz des Spannungstensors in der schwachen Formulierung kann mit den Spannungsflüssen über das GEbiet vergliechen werden. Die Spannungen hängen von den Verzerrungen ab, wobei die Verzerrungen Ableitungen des Verschiebungsfeldes sind. Aus diesem Grund stellt der Divergenztermin eine zweite Ableitung dar.

Im Rahmen der FEM ist das ungünstig weil somit höhere Stetigkeitsanforderungen der Ansatzfunktionen erforderlich wären.

Durch die partielle Integration mit dem Gaußschen Integralsatz werden wir die Spannungsdivergenz los.

Warum wird eine numerische Integration (z.B. die implizite Eulerverfahren) verwendet, um der plastische Parameter λ zu bestimmen?

Um das Problem in der Zeit zu diskretisieren und iterativ zu lösen.

Welche Arten von Nichtlinearität kennen Sie? Nennen Sie diese und geben Sie Beispiele dazu.

1. geometrische Nichtlinearitäten: große Verschiebungen, Rotationen, Verzerrungen
2. materielle Nichtlinearitäten: elasto-Plastisches Problem

Beschreiben Sie zwei Arten von plastischer Verfestigung.
Fertigen Sie hierfür auch jeweils eine Skizze an und gehen Sie außerdem auf die auftretenden mikromechanischen Mechanismen ein. Welcher Verfestigungseffekt ist maßgebend für Stahl?

Isotrope Verfestigung:

• entsteht durch einen Stau der Versetzungen im Kristallgitter
• wird durch eine skalare innere Variable α beschrieben
• Fließbereich wird vergrößert (Fließflächenvergrößerung), weshalb nach einmaliger Plastifizierung größere Spannungen notwendig sind um weiteres Fließen einzuleiten
• dominant bei spröden Stählen.

Kinematische Verfestigung (Bauschinger Effekt):

• Ursache liegt in den lokalen Eigenspannungen, die durch den Versetzungsaufstau entstehen
• wird durch eine tensorielle innere Variable β beschrieben
• Fließbereich wird nicht vergrößert, sondern lediglich verschoben (Fließflächenverschiebung) .
• dominant bei duktilen Stählen und viele andere Metallen

Anmerkung: Bei vielen Materialien, auch bei Stahl, kombinieren sich beide Verfestigungen.

Was folgt aus dem Prinzip der maximalen Dissipation?

Aus dem Prinzip der maximalen Dissipation ("Von allen zulässigen Spannungszuständen maximiert der wirkliche Spannungszustand die innere Dissipation") folgt die assoziierte Fließregel welche besagt, dass plastisches Fließen normal zur Fließfläche erfolgt.

Was bedeutet die assoziierte Fließregel?

Was ist dann eine nicht assoziierte Fließregel?

Die assoziierte Fließregel wird vom Prinzip der maximalen Dissipation abgeleitet und die Fließfunktion wird als das Strömungspotential  ˙ε=λ(∂f/∂σ) beschrieben.
Dies ist eine ausreichende, aber nicht unbedingt notwendige Bedingung für ein stabiles Materialverhalten.
Jede andere Wahl des Strömungspotentials wird als nicht-assoziierte Fließregel klassifiziert, ˙ε=λ(∂g/∂σ) wobei g experimentell validiert werden muss.

Was bedeutet Schädigung mikromechanisch?
Was ist der Unterschied zur Plastizität im Bezug auf die elastischen Eigenschaften?

Schädigung bedeutet den Verlust der materiellen Integrität (des inneren Zusammenhalts) eines Materials.
Mikromechanisch stellt sich dies durch das Aufberechen atomarer Bindungen und dem Wachstum von Mikrorissen und Poren dar.

Im Vergleich zur Plastizität erfolgt bei der Schädigung eine Änderung der elastischen Eigenschaften. Dadurch resultiert eine geringe Steifigkeit des Materials, was zu einem geringeren E-Modul bei der Wiederbelastung führt.

Was ist der Unterschied zwischen spröder und duktiler Schädigung?

Spröde Schädigung: Keine nennenswerten plastischen Effekte oder bleibende Dehnungen

Duktile Schädigung: Plastische Effekte und bleibende Verformungen

Was ist der Unterschied zwischen isotroper und anisotroper Schädigung?

Isotrope Schädigung:

• richtungsunabhängig (die materielle Integrität nimmt durch Wachstum kugelförmiger Poren unabhängig von der Belastungsrichtungen in allen Richtungen gleich ab)
• Beschreibbar durch eine skalare Schädigungsvariable

Anisotrope Schädigung: 

• richtungsabhängige Mikrorissausbreitung im Material
• tensorielle Schädigungsvariable nötig

Für die Beschreibung isotroper Schädigung wird eine skalare innere Variable D eingeführt.
Was beschreibt die assozierte thermodynamische Kraft y=−(∂ψ/∂D)?

Diese thermodynamische Kraft können wir als Anteil der elastischen Energie interpretieren, die bei dem Schädigungsprozess dissipiert wird.