Was ist die Rückstellkraft bei einer mechanischen Schwingung?
Die Rückstellkraft ist eine Kraft, die einen schwingenden Körper wieder in seine Gleichgewichtslage zurückführen will. Beim Federpendel ist sie proportional zur Auslenkung und wirkt entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung (Hooke’sches Gesetz: F = -D*y )
Was passiert, wenn die Erregerfrequenz kleiner als die Eigenfrequenz ist?
Nach kurzer Einschwingzeit passt sich das System an die Erregerfrequenz an. Es kommt zu einer gleichmäßigen Schwingung mit ähnlicher Amplitude wie der Erreger. Die Phasenverschiebung geht gegen Null
Was bedeutet die Frequenz f?
Bildet den Kehrwert der Periodendauer
Frequenz: f= 1 / T [Hz= s-1]
=Anzahl der Schwingungen pro Sekunde
Was ist eine Phasenverschiebung bei Schwingungen?
Die Phasenverschiebung beschreibt die zeitliche Verschiebung zwischen zwei periodischen Vorgängen. Bei erzwungenen Schwingungen hängt die Phasenverschiebung vom Verhältnis zwischen Eigen- und Erregerfrequenz ab
Was besagt das Hooke’sche Gesetz?
A: Das Hooke’sche Gesetz beschreibt die Rückstellkraft einer elastischen Feder:
F = -D * y
federkraft = federkonstante mal Weg
Dabei ist F die Rückstellkraft, D die Federkonstante (wie die feder gebaut ist) (in N/m) und y die Auslenkung aus der Ruhelage. Das Minuszeichen zeigt, dass die Kraft entgegen der Auslenkung wirkt
=Kraft proportional zur Längenveränderung s
Formel für Elongation der harmonischen Schwingunge
Die Auslenkung, also die Entfernung des Pendels vom Ruhepunkt, kann zu jedem Zeitpunkt mit der folgenden Formel genau berechnet werden.
y(t) = y₀ · sin(ω · t):
Du nimmst die maximale Auslenkung (y₀) und multiplizierst sie mit dem aktuellen Sinuswert, um die tatsächliche Auslenkung im Moment t zu bekommen
y(t): Die Auslenkung zum Zeitpunkt t
Das ist der Abstand des Pendels von der Ruhelage (Mittelpunkt) zu einem bestimmten Zeitpunkt t
y₀: Die Amplitude
Das ist der größte mögliche Abstand von der Mitte. Also: Wie weit schwingt das Pendel maximal aus? (z. B. 5 cm nach rechts oder links
ω · t: Winkel, der in der Zeit t überstrichen wurde
•ω ist die Kreisfrequenz: Sie sagt, wie schnell die Schwingung abläuft (z. B. 2π pro Sekunde bei 1 Hz).
•t ist die Zeit in Sekunden.
•ω · t ergibt also, welcher Teil der Schwingung gerade durchlaufen wurde – in Winkelmaß (radiant)
sin(ω · t): Der Prozentwert der Auslenkung
Der Sinuswert gibt an, wie groß der Anteil der Auslenkung in diesem Moment ist – so ähnlich wie ein Prozentsatz zwischen -1 und +1:
•Wenn der Sinuswert = sin(pi/2) 1: Volle Auslenkung nach oben
•Wenn der Sinuswert = sin(pi) 0: Gerade in der Mitte
•Wenn der Sinuswert = sin (3pi/2) -1: Volle Auslenkung nach unten
Welche Arten von Schwingungen gibt es ?
Harmonische Schwingung, Gedämpfte Schwingung, Angeregte Schwingung (Resonanz)
Was passiert, wenn die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz ist?
Es kommt zur Resonanz.
Die Amplitude der Schwingung wird maximal. Das System nimmt viel Energie auf. Ohne ausreichende Dämpfung kann es zu einer Resonanzkatastrophe kommen – das System wird zerstört (z. B. Brücken bei Erdbeben oder starkem Wind).
Welche Kraft zieht die Pendelmasse nach unten?
Die Gewichtskraft
FG= m*g
Was ist ein Fadenpendel?
Ein Fadenpendel ist:
•Eine kleine Masse (zum Beispiel eine Kugel)
•die an einem dünnen Faden hängt
•und hin- und herschwingt, wenn man sie auslenkt
Was versteht man unter der Erregerfrequenz?
Die Erregerfrequenz ist die Frequenz, mit der ein äußeres System (z. B. ein Motor oder Impulsgeber) ein schwingendes System anregt. Sie kann kleiner, gleich oder größer als die Eigenfrequenz sein
woraus berechnet sich die kreisfrequenz?
Die Kreisfrequenz ω ist:
ω= 2pi * f
• f = Frequenz in Hertz (Hz), also Schwingungen pro Sekunde
• 2pi = Umfang eines Kreises (Einheitskreis)
👉 Warum das so ist?
Stell dir eine Schwingung als Kreisbewegung vor:
•Eine volle Schwingung = 1 Kreis = 2pi Bogenmaß
•Bei 1 Hz (1 Schwingung pro Sekunde) → ω = 2pi
•Bei 2 Hz → ω= 4pi , usw.
Das bedeutet: Je höher die Frequenz, desto schneller “läuft” die Schwingung im Kreis voran
Was passiert energetisch bei einer Schwingung des Fadenpendels
Wird das Fadenpendel ausgelenkt, so steigt die potenzielle Energie. Sobald es losgelassen wird, beginnt eine kontinuierliche Umwandlung zwischen potenzieller und kinetischer Energie. Am Punkt der maximalen Auslenkung (= Amplitude), wenn das Pendel seine Richtung ändert, ist die potenzielle Energie maximal und die kinetische genau null. Am tiefsten Punkt der Pendelstrecke (Ruheposition), ist die potenzielle Energie minimal und die kinetische erreicht ihr Maximum.
Wie lautet die Formel zur Berechnung der Amplitude einer gedämpften Schwingung zum Zeitpunkt t?
Zusammenhang zwischen f und T
f= 1/ T
T= 1/f
Welche heißen die Parameter
Peroidendauer, Amplitude , Frequenz
Was gibt die Kreisfrequenz ω an ?
Gibt an, wie schnell die Schwingung im Kreis läuft
Rad/s (radiant pro Sekunde)
ω= 2 * pi* f
Wie kann man sich die formeln für elongation, die Geschwindigkeit der schwingenden Masse und die schwingungsdauer ableiten
Indem man die Sinusfunktion in einem
Eiheitskreis darstellt.
Warum schwingt ein Pendel über die Gleichgewichtslage hinaus?
Wegen seiner Trägheit bewegt sich die Masse weiter, obwohl die Rückstellkraft sie zurückzieht – so entsteht eine Schwingung
Wie verhalten sich potenzielle und kinetische Energie bei einer (gedämpften) Schwingung?
Potenzielle und kinetische Energie wandeln sich ständig ineinander um.
•Am Umkehrpunkt (maximale Auslenkung): potenzielle Energie maximal, kinetische = 0
•In der Ruhelage: kinetische Energie maximal, potenzielle = 0
Bei der gedämpften Schwingung nimmt die Gesamtenergie (Summe aus beiden) mit der Zeit ab, da ein Teil durch Reibung als Wärme verloren geht
Wie berechnet sich die Sxhwingungsdauer bei der harmonischen Schwingung
T= 2* pi* inwurz. m/k [s]
Schwingungsdauer=2* Pi* Wurzel aus dem Quotienten von Masse und Federkonstante
Was passiert, wenn die Erregerfrequenz größer als die Eigenfrequenz ist?
Das System schwingt weiterhin mit der Erregerfrequenz, aber die Amplitude nimmt ab. Die Bewegung des Systems hinkt der des Erregers hinterher.
Die Phasenverschiebung geht gegen π (180°), d. h. das System schwingt gegengleich.
Beispiele für schwingende Systeme
Fadenpendel, Federpendel
Wovon hängt die Schwingungsdauer eines Fadenpendels ab?
Nur von der Länge des Fadens l und der Erdbeschleunigung g , nicht von der Masse
(Bei der Fedeependel hängt es von den Eigenschaften der feder ab )
Was bedeutet „harmonische Schwingung“?
Eine harmonische Schwingung ist eine regelmäßige Schwingung mit konstanter Amplitude und Frequenz, deren Weg-Zeit-Diagramm eine Sinuskurve ergibt
Wie lautet die Formel für die Tangentialkraft beim Fadenpendel?
je größer der Winkel, desto stärker die Beschleunigung
Wie bewegt sich das Fadenpendel?
Wenn du das Pendel anhebst und loslässt, passiert Folgendes:
1.Die Kugel wird durch die Erdanziehungskraft (Gewichtskraft) nach unten gezogen.
2.Dabei schwingt sie an dem Faden in einer Bogenform zurück und dann wieder auf die andere Seite
Wann schwingt ein Fadenpendel harmonisch?
Nur bei kleinen Auslenkungen, da dann die Rückstellkraft annähernd proportional zur Auslenkung ist
Was ist eine angeregte (erzwungene) Schwingung?
Eine angeregte oder erzwungene Schwingung entsteht, wenn einem schwingenden System regelmäßig von außen Energie zugeführt wird. Das System schwingt dann nicht mehr mit seiner Eigenfrequenz, sondern mit der Erregerfrequenz
Was versteht man unter einer gedämpften Schwingung
Eine gedämpfte Schwingung ist eine Schwingung, bei der die Amplitude im Laufe der Zeit abnimmt. Ursache dafür ist Reibung (z. B. Luftwiderstand, Materialreibung), wodurch das System Energie verliert. Ohne äußere Energiezufuhr kommt das System schließlich zum Stillstand.
Was ist eine Resonanzkatastrophe?
Eine Resonanzkatastrophe tritt auf, wenn bei Resonanz (Erregerfrequenz = Eigenfrequenz) zu viel Energie in das System gelangt und keine ausreichende Dämpfung vorhanden ist. Dadurch steigt die Amplitude so stark an, dass das System zerstört wird.
Was gibt die Amplitude an ?
Die Elongation ist die momentane Auslenkung eines schwingenden Körpers zum Zeitpunkt t .
(z. B. maximale Höhe der Schaukel)
Einheit = Meter (m)
Was bedeutet die Periodendauer T?
Zeit für eine vollständige Schwingung (z. B. von links nach rechts und zurück)
Einheit= Sekunden (s)
Wie funktioniert ein Federpendel?
Eine Masse dehnt eine Feder durch ihr Gewicht. Die Feder übt eine entgegengesetzte Rückstellkraft aus. Wird das Gleichgewicht gestört, entsteht eine Schwingung
Welche Kräfte wirken beim Schwingen?
1. Radialkraft Fr :
Diese Kraft zieht entlang des Fadens
Hält den Faden gespannt
2.Tangentialkraft Ft :
Beschleunigt das Pendel entlang seiner Kreisbahn
Sie sorgt dafür, dass sich das Pendel vorwärts bewegt
Was versteht man unter der Eigenfrequenz eines Systems?
Die Eigenfrequenz ist die natürliche Frequenz, mit der ein System ohne äußere Einflüsse schwingt. Sie hängt von den Eigenschaften des Systems ab, z. B. Masse und Federkonstante beim Federpendel
Wie lautet die Formel für die Schwingungsdauer T eines Fadenpendels bei kleinen Auslenkungen?
Schwingungsdauer = zweimal Pi mal Wurzel aus dem Quotienten von Fadenlänge und Gravitationsbeschleunigung [s]
was ist die Elongation y(t) ?
Die Elongation ist die momentane Auslenkung eines schwingenden Körpers zum Zeitpunkt t . Einheit: Meter (m).
Was zeigt das Weg-Zeit-Diagramm bei einer gedämpften Schwingung?
Im Weg-Zeit-Diagramm zeigt sich bei einer gedämpften Schwingung eine abklingende Sinuskurve. Die Amplitude wird mit der Zeit kleiner, die Einhüllende der Kurve ist eine Exponentialfunktion
Was ist eine mechanische Schwingung?
Eine mechanische Schwingung ist ein zeitlich periodischer Vorgang, bei dem ein Körper regelmäßig um eine Gleichgewichtslage hin- und herschwingt.
Beispiele:
•Eine Schaukel, die hin und her pendelt
•Ein Federpendel (Feder mit Gewicht dran)
•Eine Gitarrensaite, die vibriert
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